Les mathématiciens mettent fin à des décennies

Les chercheurs ont découvert une nouvelle forme à 14 côtés appelée le Spectre qui peut être utilisée pour carreler une surface sans jamais créer de motif répétitif, mettant fin à une longue chasse mathématique de plusieurs décennies.

Qu'est-ce qui a 14 côtés, est plein de courbes et peut parfaitement couvrir une surface sans espaces ni chevauchements ? Ce n'est pas une énigme, c'est un "vampire einstein".

En mars, un technicien en imprimerie à la retraite nommé David Smith est tombé sur une découverte remarquable dans le monde des mathématiques. Il a trouvé une forme à 13 côtés qui pouvait recouvrir complètement une surface sans jamais se répéter. La forme, surnommée "le chapeau" pour sa forme vaguement feutrée, était l'aboutissement de décennies de chasse par les mathématiciens du monde entier.

Depuis 1961, les mathématiciens se demandaient si une telle forme pouvait exister. Au début, les mathématiciens ont trouvé un ensemble de 20 426 formes qui pouvaient s'assembler tout en créant un motif qui ne se répète jamais (contrairement aux carreaux sur le sol d'une cuisine, qui créent un motif répétitif). Finalement, les mathématiciens ont trouvé un ensemble de 104 formes qui pourraient créer un tel pavage sans répétition.

Puis, dans les années 1970, le physicien et lauréat du prix Nobel Roger Penrose a trouvé une paire de formes qui, ensemble, ont créé un pavage non répétitif. Et pendant des décennies, les mathématiciens ont continué à se demander si le même tour pouvait être fait avec une seule forme. Cette forme semi-mythique, connue officiellement sous le nom de monotile apériodique, est devenue connue sous le nom de "l'einstein", qui signifie "une pierre" en allemand.

Mais pour toute la célébration autour de la découverte par Smith d'une tuile d'Einstein, il y avait une petite mouche dans la pommade. Afin de créer le carrelage non répétitif, le "chapeau" devait travailler avec son image miroir. Techniquement, c'est la même forme, juste inversée, mais certains ont soutenu que Smith n'avait pas vraiment trouvé de véritable einstein.

Maintenant, cependant, Smith et ses collègues ont levé ces objections : ils ont trouvé une forme qui peut recouvrir une surface sans se répéter ni être retournée. Ils ont décrit la nouvelle forme le 28 mai dans un article publié dans la base de données de préimpression arXiv, bien qu'il n'ait pas encore été évalué par des pairs.

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L'équipe a nommé leur forme le "Spectre", un hommage aux vampires qui ne peuvent pas voir leurs propres reflets et n'ont donc pas besoin de miroir.

"Dans le carrelage plan, il est tout à fait standard que les tuiles puissent être réfléchies ; néanmoins, certaines personnes n'étaient pas satisfaites que le chapeau monotile apériodique nécessite des réflexions pour carreler le plan", a écrit le co-auteur Joseph Samuel Meyers sur Mastodon. "Dans notre nouvelle prépublication, nous présentons le Spectre, le premier exemple d'un vampire einstein : un monotile apériodique qui pave le plan sans reflets."

Pour trouver la forme fantomatique, l'équipe a commencé avec la forme originale du "chapeau" et y a ajouté un côté supplémentaire. Cette nouvelle forme nécessitait toujours que son image miroir soit entièrement carrelée, mais les chercheurs ont découvert qu'en transformant les bords droits de la forme à 14 côtés en bords courbes, ils pouvaient se passer d'images miroir et travailler avec une seule forme.

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Paul M. Sutter est professeur-chercheur en astrophysique à la SUNY Stony Brook University et au Flatiron Institute de New York. Il apparaît régulièrement à la télévision et sur des podcasts, notamment "Ask a Spaceman". Il est l'auteur de deux livres, "Your Place in the Universe" et "How to Die in Space", et est un contributeur régulier à Space.com, Live Science, et plus encore. Paul a obtenu son doctorat en physique de l'Université de l'Illinois à Urbana-Champaign en 2011 et a passé trois ans à l'Institut d'astrophysique de Paris, suivi d'une bourse de recherche à Trieste, en Italie.

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